Пример экономической постановки задачи с использованием платежной матрицы

В Самаре решено открыть яхт-клуб. Необходимо определить, сколько следует закупить яхт (из расчета: одна яхта на 5 человек), если предполагаемое число членов клуба колеблется от 10 до 25 человек.

Годовой абонемент стоит 100 денежных единиц. Цена яхты - 170 денежных единиц. Аренда помещения и хранение яхт обходится в 730 денежных единиц в год.

Несомненно, что имеет смысл рассматривать количество приобретаемых яхт в диапазоне от двух до пяти (4 варианта) и количество потенциальных яхтсменов от 10 до 25. Однако объем перебора будет великоват и потому ограничимся вариантами 10, 15, 20, 25 (если полученные выводы для смежных вариантов будут существенно разниться, проведем дополнительный, уточняющий расчет). Итак:

х = {xi} = (2, 3, 4, 5) - количество яхт (i = 1,2,3,4);= {Sj} =(10, 15, 20, 25) - количество членов яхт-клуба (j = 1,2,3,4).

Для того чтобы начать поиск решения, строят матрицу полезности, элементы которой показывают прибыль при принятии i -го решения при j -ом количестве членов яхт-клуба:

= 100 α min(5 α xi ; Sj) - 170 α xi - 730

т.е. решающее правило в задаче формулируется как «доход - затраты».

Выполнив несложные расчеты, заполняют матрицу полезности {Wij}:

Например, W11 = 100 α min(5 α 2, 10) - 170 α 2 -730 = -7012 = 100 α min(5 α 2, 15) - 170 α 2 -730 = -7013 = W14 = -70 (спрос на яхты останется неудовлетворенным). Отрицательные значения показывают, что при этих соотношениях спроса на яхты и их наличия яхт-клуб несет убытки.

Критерий принятия решения в ситуации риска. Предполагают, что есть статистические данные, позволяющие оценить вероятность того или иного спроса на членство в яхт-клубе: Р = ( 0,1 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,3). Тогда математическое ожидание величины прибыли для каждого из рассматриваемых вариантов решения (предложение яхт в яхт-клубе):

1 = (-70α 0,1)+(-70 α 0,2)+(-70 α 0,4)+(-70 α 0,3) = -70 ,

W2 = (-240 α 0,1)+(260 α 0,2)+(260 α 0,4)+(260 α 0,3) =210;

W3 = 390; W4 = 370.

Вывод: в условиях рассматриваемой ситуации наиболее целесообразно закупить 4 яхты (в этом случае максимальная ожидаемая прибыль яхт-клуба составит 390 денежных единиц).

Принятие решения в ситуации неопределенности.

А. Для применения критерия Лапласа находят:

1 = ((-70)+(-70)+(-70)+(-70)) / 4 = -70; 2 = ((-240)+(260)+(260)+(260)) / 4 =135;3 = 215; W4 = 170.

Вывод: в условиях равновероятности возникновения той или иной величины спроса на членство в яхт-клубе следует закупить 4 яхты и при этом можно рассчитывать на прибыль в размере 215 д.е.

Б. Критерий Вальда (выбор осторожной, пессимистической стратегии) - для каждой альтернативы (количество яхт в клубе) выбирается самая худшая ситуация (наименьшее значение величины прибыли) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект:

= max (-70; -240; -410; -580) = -70

Вывод: принимая решение по критерию Вальда, яхт-клубу следует закупить 2 яхты и максимум ожидаемого убытка не превысит 70 д.е.

В. Критерий Гурвица (компромиссное решение между самым худшим исходом и излишне оптимистическим). Рассматривают изменение решения задачи в зависимости от значений коэффициента оптимизма (в таблице выделены значения, удовлетворяющие критерию Гурвица при различных α):